どこよりもよくわかるフィボナッチ数列の一般項の解法について
$\begin&2\sin36^\circ\cos36^\circ=3\sin36^\circ-4\sin^336^\circ\\ &\Leftrightarrow4\sin^336^\circ+2\sin36^\circ\cos^\circ-3\sin36^\circ=0\\&\Leftrightarrow \sin36^\circ(4\sin^236^\circ+2\cos36^\circ-3) =0\\&\sin36^\circ\neq 0 より\\&4\sin^236^\circ+2\cos36^\circ-3=0\\&4(1-\cos^236^\circ)+2\cos36^\circ-3=0\\&-4\cos^236^\circ+2\cos36^\circ+1=0\\&4\cos^236^\circ-2\cos36^\circ-1=0\end $
４ フィボナッチ数列の極限
５ フィボナッチ数列をさらに知ることができる本
５－１ 『数列の集中講義 （教科書Next） 』東京出版編集部 著
５－２ 『高校数学＋α：基礎と論理の物語』宮腰 忠 著
５－３ 『総合的研究 数学II+B （高校総合的研究）』長岡 亮介 著
６ まとめ
その１．三項間漸化式の解き方
―１．特性方程式を解く。
―２．特性方程式の解をヒントに与えられた漸化式を「等比数列」型の漸化式に式を変形する。
―３．式を整理して一般項を求める。
その２．フィボナッチ数列の一般項の求め方
―１．フィボナッチ数列の漸化式を三項間漸化式とみて解く。その際、計算をおこないやすいよう、特性方程式の解を$\alpha 、\beta$とおいて計算していく。
―２．「等比数列」型の漸化式が出てくるよう式を変形する。
―３．$a_$を消去して一般項$a_n$を求める。
その３．黄金比
―１．黄金比は「美しい比」とされ、自然界はもちろん、美術作品にも用いられている。
―２．$\phi=\dfrac>$を黄金数と呼び、これは$1:\phi=\phi:(1+\phi)$を満たし、$1:\phi$は黄金比といわれる。
―３．$\cos36^\circ=\dfrac<\phi>$、$\cos72^\circ=\dfrac<\phi^<-1>>$、$\cos108^\circ=\dfrac<1-\phi>$であることからわかるように正五角形は黄金比と深い関係がある図形である。
―４．フィボナッチ数列$\$の隣り合う二項の比は黄金数に収束します。つまり、$\displaystyle \lim_
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動的計画法（Dynamic Programming）入門
フィボナッチ第5項を求める際の関数の呼び出され方
上の図を見てもらうとわかりますが、fib(5)の計算をする際に、fib(3)の計算を2回行っています。つまり、同じ計算を余分に 1 回行うことになります。
動的計画法を使う場合（メモ化再帰）
このような再帰関数によるトップダウン型の動的計画法の実装方法を、メモ化再帰などと言うことがあります。
動的計画法を使う場合（漸化式）
dp[ i ] := フィボナッチの第 i 項
となるよう、以下のように i が0からn-2の時まで更新してやります。
dp[ i+2 ] = dp[ i+1 ] + dp[ i ]
このような、漸化式を利用したボトムアップ型の動的計画法の実装方法もあります。
ナップサック問題
価値が \(v_i\) 、重さが \(w_i\) で表される荷物が N 個ある。重さ B を超えないようにナップサックに入れる時、選んだ荷物の価値の合計は最大でどれだけか？
ここでは、AtCoder Beginner Contest 032 D – ナップサック問題 のデータセット 2 に対応する部分点を得る解答を考えることとします。（つまり、N≦200 かつ全ての i(1≦i≦N) について 1≦wi≦1000 を満たす）
動的計画法を使わない場合
荷物の選び方は、それぞれの荷物に対して「入れる or 入れない」の2通りがあるので、全体で\(2^N\)通りあります。
これは再帰関数を用いて計算することができます。 i 番目の荷物を選択するかしないかで分岐させてください。
これも、部分問題が構造的に現れています。knapsack(i,b) の計算をする上で、knapsack(i + 1, b – w[i]) や knapsack(i + 1, b) といった部分問題を解く必要があります。
動的計画法を使う場合（メモ化再帰）
動的計画法を使う場合（漸化式）
dp[ i ][ b ] := 残りの重さ(容量)が b 以上となる i 番目までの荷物の選び方で、最大となる価値の総和
仮に最適な選び方をしたとして、dp[ i+1 ][ b ] の値を考えてみましょう。
i フィボナッチ数列の計算量について 番目の荷物を使う時は dp[ i ][ b + w[ i ]]+v[ i ] が価値の総和の最大となり、使わない時は dp[ i ][ b ] となるはずです。
（残りの重さを考えていることに注意してください。i 番目の荷物を使う時は、残りが b+W[ i ] からW[ i ] だけ減って b になればよいはずです。）
dp[ i+1 ][ b ] = max(dp[ i ][ b + w[ i ]]+v[ i ], dp[ i ][ b ])
求める答えは、 dp[N][0] になります。
dp[ i ][ b ] := i 番目までの荷物について、今までに入れた重さの総和が b 以下となるもので、価値の総和の最大値
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